게임 엔진을 지탱하는 게임 수학-1. 기초-(2) 함수

 

강의 : https://inf.run/HPQQK

게임 엔진을 지탱하는 게임 수학 강의 | 이득우 - 인프런

 

 

 

1. 함수(Function)의 기초

함수를 왜 배워야 하는가?

게임의 공간을 구성하고 화면에 보여지는 전 과정은 대부분 공간과 공간의 변환으로 구성되어 있음. 이러한 변환은 근본적으로 집합과 집합의 대응 관계에 기반하고 있으며, 이의 메카니즘을 설명하는 이론이 함수

함수의 정의

함수의 성립 조건 : 첫 번째 집합의 모든 요소가 사용되어야 한다.

함수가 아닌 대응 관계

• 첫 번째 집합의 어떤 원소에 대한 대응 관계가 빠져 있을 때
• 첫 번째 집합의 한 원소가 두 번째 집합의 두 가지 이상의 원소에 대응할 때

함수에 관련된 주요 용어

• 정의역(Domain)
• 공역(Codomain)
• 치역(Range)

프로그래밍 관점에서 함수를 바라보기

• 입력(Input)
• 출력(Output)

함수의 종류(Classes of Function)

• 전사(Surjection) : 공역과 치역이 동일

-공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수를 의미한다.

-전사함수(Surjection)는 위로의 함수(Onto)라고도 부른다.

-위 그림은 공역의 요소인 C가 대응 되지 않았기 때문에 전사함수가 아니다.

 

• 단사(Injection) : 정의역과 공역의 요소가 1:1로 대응

-정의역의 모든 요소가 공역의 요소에 중복 없이 대응되므로 단사 함수이다. 

-일대일 함수 (One to One)라고도 부른다.

 

 

-위 이미지에서 정의역의 두 요소가 공역의 한 요소에 대응되기 때문에 일대일이 아니므로 단사함수가 아니다.

 

• 전단사(Bijection) : 전사 + 단사를 모두 만족

• 일반(General) : 이도저도 아님

2. 곱집합(Cartesian Product)

곱집합의 정의

곱집합이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶어 구성한 집합

$(a,b)$와 같이 괄호와 콤마를 사용해 원소를 나열하는 방식을 튜플(Tuple)이라고 함

곱집합은 $\times$ 기호를 사용해 표현한다. 예) $A\times B$

곱집합의 예시

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product#/media/File:Piatnikcards.jpg

집합 R={A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}

집합 S={♠,♥,♣,◆}

트럼프 : R * S

이항 연산을 함수로 해석하기

• 정의역의 곱집합을 사용하여 두개의 인자를 사용한다면면 이항연산을 함수로 표현할  수 있다. 

3. 합성함수(Composition)

항등함수(Identity Function)

 

역함수(Inverse Function)

-전단사 함수일 때 성립이 된다.

- 정의역에서 어떤 공역으로 대응되는 관계를 거꾸로 공역에서 정의역으로 대응하는 관계를 타나낸다.

 

역함수의 조건

아래의 전사 함수는 역함수가 성립되지 않는다.

아래의 단사 함수는 역함수가 성립되지 않는다

전단사 함수일 때만 역함수를 보장받는다.

함수와 그 역함수의 합성 함수

어떤 전단사 함수와 그 역함수와의 합성 함수는 항등함수가 된다.

합성함수의 역함수

왜 이러한 합성함수의 대응관계를 알아야 하는가?

이후에 배울 행렬은 하나의 함수에 대응되고 행렬의 곱셈은 합성 함수에 대응된다.

이러한 합성 함수의 성질을 이해하면 복잡한 행렬 연산의 메커니즘을 이해할 수 있는 기반이 된다.